Auf- und Abrunden von Dezimalbrüchen

Problem

Beim Rechnen mit Dezimalbrüchen entstehen oft „krumme“ Zahlen mit sehr oder sogar unendlich vielen Nachkommastellen. Nach dem Hinzurechnen der Mehrwertsteuer kostet eine Ware zum Beispiel 341,9598 EUR, die Berechung der Höhe eines Bilds oder Satzspiegels ergibt 201,083333... mm, der Text eines Romans nimmt rechnerisch 457,375 Seiten ein usw. In solchen Fällen wird gerundet. Entweder um die Zahl etwas „handlicher“ zu machen oder weil die Anzahl der Nachkommastellen sachlich unsinnig ist: Endpreise in Euro haben höchstens zwei Nachkommastellen, Bruchteile von Buchseiten gibt es nicht.

Grundsatz

Beim Runden von Dezimalbrüchen wird die Anzahl der Dezimalstellen reduziert. Dabei soll aber die gerundete Zahl so genau sein, wie es bei der verbleibenden Stellenzahl gerade noch möglich ist. Dehalb wird nach der 4-5-Regel gerundet:
–  Wenn die auf die letzte verbleibende Stelle folgende Ziffer kleiner als 5 ist (also höchstens 4), wird abgerundet.
–  Wenn die auf die letzte verbleibende Stelle folgende Ziffer gleich oder größer als 5 ist, wird aufgerundet.
Beim Abrunden werden die nicht benötigten Stellen einfach abgeworfen. Beim Aufrunden wird dagegen die letzte verbleibende Stelle um 1 erhöht.

Beispiele (Rundung auf zwei Dezimalstellen):
642,274 ≈ 642,27
738,36286 ≈ 738,36
247,235 ≈ 247,24
579,705239 ≈ 579,71

Die letzte nach dem Runden verbleibende Stelle kann eine Null sein. Das hat beim Abrunden keine Konsequenzen. Beim Aufrunden erhöht sich aber die links davon stehende Stelle um 1.

Beispiele (Rundung auf zwei Dezimalstellen):
365,703 ≈ 365,70
842,50492 ≈ 842,50
573,596 ≈ 573,60
769,9975 ≈ 770,00

Genauigkeit – Anzahl der verbleibenden Stellen

Auf wie viele Dezimalstellen sollte gerundet werden? Die Antwort auf diese Frage hängt vom Zweck der Berechnung und von der Einheit ab, mit der gerechnet wird. Wenn zum Beispiel die Breite oder Höhe eines Bilds in Millimeter ausgerechnet wird, dürfte normalerweise eine Nachkommastelle ausreichen. Wird dagegen in der Einheit Zentimeter gerechnet, sind zwei Dezimalstellen erforderlich, um dieselbe Genauigkeit zu erreichen. Bei der Berechnung der Dicke eines Blatts Papier in Millimeter sollten zwei oder drei Dezimalstellen angegeben werden. Wenn in der Einheit Mikrometer (1000 µm = 1 mm) gerechnet wird, ist gar keine Dezimalstelle erforderlich.

Zwischenergebnisse sollten genauer sein, also mehr Dezimalstellen haben als Endergebnisse. Ungenauigkeiten von Zwischenergebnissen wirken sich überproportional auf die Genauigkeit des Endergebnisses aus, wenn bei den nachfolgenden Rechenschritten multipliziert oder sogar potenziert wird. Beim Rechnen mit dem Taschenrechner ist es am einfachsten und sichersten, alle Dezimalstellen bis zum Ende der Berechnung mitzunehmen und erst am Schluss zu runden.

Sonderfälle

Einige Größen werden immer ganzzahlig gerundet, weil es aus sachlichen Gründen keine Nachkommastellen geben kann. So gibt es zum Beispiel keine Pixel-Bruchteile, denn Pixel sind nicht teilbar. Rechnerische Ergebnisse wie zum Beispiel 178,36 oder 2385,875 Pixel werden deshalb immer auf ganze Zahlen gerundet, hier also auf 178 bzw. 2386.

In einigen Fällen wird auch von der 4-5-Regel abgewichen und stattdessen in jedem Fall aufgerundet. Das gilt immer dann, wenn eine nur teilweise genutzte Einheit aus praktischen Gründen wie eine ganze behandelt wird. Wenn eine Werkumfangsberechnung zum Beispiel 363,247 Seiten ergibt, ist der Text offensichtlich nicht auf 363 Seiten unterzubringen, sondern erfordert 364 Seiten.

Übungsaufgaben

1  Bitte auf die jeweils angegebene Stellenzahl runden.
7628,46  (eine Dezimalstelle)
567,348  (eine Dezimalstelle)
927,375  (zwei Dezimalstellen)
769,2964    (zwei Dezimalstellen)
372,62829  (drei Dezimalstellen)
63,486999  (drei Dezimalstellen)
0,015625    (vier Dezimalstellen)
12,999999  (vier Dezimalstellen)

2  Ergebnisse bitte auf die jeweils angegebene Stellenzahl runden.
6,735 · 4,468  (eine Dezimalstelle)
28 : 15  (zwei Dezimalstellen)
2,653  (drei Dezimalstellen)
3 : 17  (vier Dezimalstellen)
11 · √8  (fünf Dezimalstellen)

Lösungen: Berühren Sie bitte die graue Fläche mit Mauszeiger bzw. Finger.