Schwarze Löcher

Krumme Sachen

Zu Beginn unserer Reise zu den wohl skurrilsten Objekten im Universum sollten wir uns ein wenig mit Krümmungen vertraut machen. Sie werden nämlich noch eine bedeutende Rolle spielen.

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist eine Theorie der Gravitation. Seit Isaac Newton der berühmte Apfel auf den Kopf fiel, wissen wir alle was Gravitation ist: Die Anziehungskraft, die zwischen zwei Massen herrscht. Die Kraft also, die uns auf dem Erdboden festhält und verhindert, dass wir in den Weltraum entschweben. Solange die Massen und damit die Anziehungskräfte nicht sehr groß sind, können wir beruhigt mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz weiterrechnen wie bisher. Wenn allerdings die Massen und damit die Gravitation sehr groß werden, müssen wir die ART zu Rate ziehen, denn hier versagt Newtons Gesetz. Einsteins Theorie besagt nun, dass die Gravitation nicht wie bei Newton eine Kraft ist, mit der sich zwei Körper anziehen, sondern dass Materie die Raumzeit krümmt. Alles sich bewegende im Weltraum muss diesen Krümmungen folgen, jede Materie und sogar das Licht.

Die Materie sagt der Raumzeit, wie sie sich zu krümmen hat, und die Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen muss

Sehen wir uns nun diese Krümmungen an:

Stellen wir uns einmal einen Billardtisch vor. An einer Schmalseite haben wir zwei schiefe Ebenen aufgestellt, von der wir jetzt gleichzeitig zwei Kugeln starten lassen. Jedem ist sofort klar, dass die beiden Kugeln völlig parallel bis zur gegenüberliegenden Bande laufen werden. Wenn aber eine kleine Erhebung auf dem Tisch ist, so laufen die Kugeln auseinander:

Es könnte auch jemand eine Beule in den Tisch geschlagen haben, dann werden sich die Bahnen der Kugeln überschneiden: Wir sehen also, dass die ehemals parallelen Bahnen der Kugeln gekrümmt werden, und zwar in Abhängigkeit von der Geometrie des Untergrundes. Die Anwesenheit von Masse verändert nun in ähnlicher Weise die Geometrie der Raumzeit, sie wird gekrümmt. Sterne, Planeten oder Monde müssen nun nicht mehr den Newtonschen Kräften der Gravitation folgen. Sie bewegen sich frei entlang den Krümmungen der Raumzeit! Gravitation ist nicht polarisiert, sie wirkt stets anziehend, deshalb entspricht die Krümmung der Raumzeit immer einer Beule bzw. Mulde.

Solange wir uns mit nur wenigen Dimensionen beschäftigen, sind Krümmungen leicht begreiflich. Betrachten wir dazu eine einfache geometrische Figur, den Kreis:

In der Skizze sind zwei Kreise mit völlig unterschiedlichem Durchmesser aufgezeichnet. Es ist leicht einzusehen, dass der kleine Kreis eine viel stärkere Krümmung hat als der große. Wenn wir den Durchmesser eines Kreises nun immer größer wählen, ihn zum Schluss unendlich groß werden lassen, dann wird die Krümmung am Ende verschwinden (sie ist dann gleich Null) und wir erhalten eine Gerade.
Lassen wir dagegen den Kreisradius immer kleiner werden, wird die Krümmung immer stärker. Am Ende ist aus dem Kreis ein Punkt geworden, der unendlich klein ist. Die Krümmung des Kreises ist jetzt unendlich groß! Ähnliches geschieht mit der Raumzeit im Innern eines Schwarzen Lochs, hier ist alle Materie zu einem punktförmigen Gebilde zusammengequetscht und die Raumzeit wird unendlich gekrümmt!

Doch zurück zum Kreis: Das ist ein einfaches, eindimensionales geometrisches Gebilde. Der Kreis hat einen Umfang bzw. eine "Länge", aber keine Breite und Höhe. Daher ist seine Krümmung leicht vorstellbar. Die Beschreibung von Krümmungen wird aber schnell kompliziert, wenn mehr Dimensionen im Spiel sind.

Gehen wir zunächst einen Schritt weiter und fügen dem Kreis eine zweite Dimension hinzu, die Höhe, womit wir einen Zylinder erhalten:

Wenn wir nun die Oberfläche des Zylinders betrachten, so benötigen wir zwei Angaben zur Beschreibung der Krümmung. Die Zylinderachse, wie man sieht, weist allerdings eine Krümmung von Null auf. Senkrecht dazu haben wir wieder die Krümmung des Kreises vor uns. Die Gesamtkrümmung ist der Kehrwert der Krümmungsprodukte, im Falle des Zylinders also praktisch Null. Zum Beweis können wir den Zylinder aufschneiden und völlig plan auf einer Fläche ausbreiten. Das erhaltene Rechteck entspricht voll und ganz der euklidischen Geometrie und versinnbildlicht eine flache Raumzeit.

Wir bewegen uns noch immer im zweidimensionalen Raum, betrachten jetzt aber eine Kugeloberfläche. Selbst wenn wir nur ein kleines Stück herausschneiden und versuchen es plan hinzulegen, wird das nicht mehr gelingen! Die Fläche reißt ein, weil der Flächeninhalt kleiner ist als der eines Kreises mit demselben Durchmesser.

Die Geometrie des Euklid verlassen wir nun und betreten das Reich der gekrümmten Räume, diese Mathematik wurde von Bernhard Riemann bereits im 19. Jahrhundert entwickelt. Die Kugeloberfläche als einfachstes Beispiel zeigt, dass die Gesetze der euklidischen Geometrie nicht mehr anwendbar sind.

Wenn wir versuchen, eine gerade Linie von einem Punkt auf der Erde zu einem anderen zu ziehen, so ist diese Linie immer Teil eines Großkreises. Diese, auf der positiven Krümmung einer Kugeloberfläche verlaufenden Linien nennt man Geodäten. Allen möglichen Geodäten gemeinsam ist das Kugelzentrum als Mittelpunkt, Parallele sind nicht mehr möglich. Zeichnen wir einen Kreis auf die Oberfläche, so ist das Verhältnis Umfang : Radius nicht mehr 2π, sondern kleiner als bei einem euklidischen Kreis! Bei einem auf die Kugel gezeichneten Dreieck ergeben sich mehr als 180° für die Winkelsumme.

Krümmungen verändern sich in der Natur von Millimeter zu Millimeter, verlaufen recht wild umher. Die Unebenheiten der Erdoberfläche (z.B. Gebirge) sind ein anschauliches Beispiel für dreidimensional verlaufende Krümmungen. Nun wird es allerdings schon recht kompliziert, diese Krümmungen zu beschreiben!

Wild verlaufende Krümmungen der Erdoberfläche

Krümmungen können durchaus auch negativ verlaufen. Während die grundlegende Form positiver Krümmungen die Kugeloberfläche ist, steht eine sattelförmige Oberfläche für negative Krümmungen:

Im euklidischen Raum (Mitte) beträgt im Dreieck die Summe der Winkel 180 °. Bei negativ gekrümmtem Raum beträgt die Winkelsumme eines Dreiecks weniger als 180 ° und der Umfang eines Kreises mit dem Radius r ist größer als 2πr. Auf der Kugel ist es umgekehrt.

Wenden wir uns nun der vierdimensionalen Raumzeit zu. Wir sehen Raum und Zeit in unserem Alltag gewohnheitsmäßig getrennt voneinander, aber das entspricht nicht der Realität. Stellen Sie sich einmal ein Universum ohne Zeit vor. Es wäre völlig unsinnig, denn es könnten darin keine Ereignisse stattfinden. Damit aber ein Ereignis stattfinden kann, benötigt man einen Ort (3 Raumdimensionen), an dem es ablaufen kann und man muss wissen, wann das erfolgte (1 Zeitdimension). Ohne Zeit gäbe es nicht die kleinste Bewegung, kein Planet würde einen Stern umlaufen, nicht mal ein Elektron einen Atomkern "umkreisen". Materie könnte also gar nicht existieren (höchstens Strahlung), es gäbe praktisch nichts als Raum. Hermann Minkowski erkannte schon 1908, dass Raum und Zeit unzertrennlich zu einer Einheit verbunden sind. Wir haben es in der Tat mit einem eigenständigen, vierdimensionalen Gebilde zu tun, dem Raumzeit- Kontinuum. Minkowskis Raumzeit ist flach, quasi euklidisch. Wenn die Geschwindigkeiten klein sind, können wir auch beruhigt Minkowskis Raumzeit anwenden, ebenso wie die Newtonschen Gesetze oder die Spezielle Relativitätstheorie. Das gilt aber nicht mehr, wenn die Geschwindigkeiten hoch werden (relativistisch), oder wenn große Massen ins Spiel kommen!

Stellen wir uns die vier Dimensionen auf ein zweidimensionales, gespanntes Tuch reduziert vor. Legt man einen Gegenstand auf das Tuch, so wird es sich nach unten "ausbeulen", es wird gekrümmt. Je größer die Masse ist, umso stärker ist diese Krümmung. Legen wir ein Schwarzes Loch auf das Raumzeit- Tuch, so wird die Krümmung sogar unendlich! Alle Körper im Kosmos krümmen nun die Raumzeit in dieser Weise, mehr oder weniger, je nach ihrer Masse. Die Krümmung von Masse ist immer positiv. Die umgebende Raumzeit reagiert darauf mit einer negativen Krümmung, sie wird sattelförmig verzerrt. Es entsteht quasi eine "Beule" in der Raumzeit und alles, Materie oder Licht, muss diesen Krümmungen folgen. Nach und nach heben sich die Krümmungen gegenseitig auf, je weiter man sich von der Masse entfernt.

Bei kleinen Körpern wie der Erde wirken sich die Raumzeitkrümmungen kaum bemerkbar aus, sie werden erst bei großen Massen spürbar. So wird z.B. das Licht eines Sterns beim Vorübergang nahe der Sonnenscheibe um einen kleinen, aber messbaren Winkelbetrag abgelenkt. Die Position des Sterns verschiebt sich dabei etwas am Himmel, weil die Sonne die Raumzeit krümmt und das Licht dieser Krümmung folgen muss. Große Massen wie Galaxien oder Galaxienhaufen wirken durch ihre starken Krümmungen sogar als Gravitationslinsen.

Betrachten wir das Universum auf großen Skalen, stellen wir fest, dass es überwiegend aus leerem Raum besteht. In dieser großräumigen Sichtweise sind deshalb auch keine nennenswerten Krümmungen festzustellen, so dass man von einer euklidischen oder "glatten" Raumzeit sprechen kann, einer Raumzeit also ohne Krümmungen. Nur an Orten großer Massekonzentrationen (Sterne, Galaxien) wird man Krümmungen finden.

Stellen wir uns nun noch vor, wir könnten mit einem Mikroskop, welches beliebige Vergrößerungen erlaubt, die Raumzeit betrachten. Hier sehen wir einen Ausschnitt der Raumzeit, der eine Ausdehnung von nur einem Billionstel [cm] hat. Wir sehen - nichts! Die Raumzeit ist so glatt wie wir sie bereits kennen. Man kann das gut mit einer Flüssigkeit vergleichen: Betrachten Sie ein Glas Wasser, so erscheint die Oberfläche völlig glatt.

Unser Supermikroskop kann aber noch mehr, und so nutzen wir unsere Chance und schauen uns einen Abschnitt an, der nur noch 10^-30 [cm] misst. In diesem unvorstellbar kleinen Segment sehen wir, dass Bewegung in die Raumzeit kommt. Wir erkennen leichte Kräuselungen, so, als wenn ein sanfter Wind auf der Oberfläche eines Sees kleine Wellen entstehen lässt. In unserem Wasserglas- Beispiel könnten wir nun erste Strukturen erkennen, die sich durch die räumliche Anordnung der Wassermoleküle ergeben.

Jetzt haben wir die Vergrößerung noch einmal um den Faktor 1000 herauf gefahren und befinden uns im Bereich der Planck- Wheeler- Länge, einer Strecke von nur noch 10^-33 [cm]. Erstaunt stellen wir fest, dass aus den leichten Kräuselungen eine wilde Meeresbrandung geworden ist. Keine Regelmäßigkeit mehr kann unser Auge erkennen, die Raumzeit ist zu einem chaotischen Auf und Ab geworden. Das sind die Fluktuationen der Raumzeit, von deren tatsächlicher Existenz wir aber bis heute noch nicht sicher wissen (diverse Experimente deuten sogar darauf hin, dass die Raumzeit bis zu kleinsten Skalen glatt sein könnte). Die Oberfläche des Wassers würde uns ähnlich erscheinen. Wassermoleküle verlassen den Flüssigkeitsverbund und steigen chaotisch auf (das Wasser verdunstet), während gleichzeitig feinste Tröpfchen kondensierter Moleküle zurück fallen. Die Flüssigkeitsoberfläche ist in ständiger chaotischer Bewegung, als würde das Wasser kochen.

Wir haben nun die Raumzeit von den größten kosmischen Skalen bis herab zur kleinsten denkbaren Ausdehnung kennen gelernt und wie sie von Materie beeinflusst wird. Damit können wir uns jetzt in das Abenteuer Schwarze Löcher wagen.

Weiterführende Informationen:
http://www.kornelius.de/arth/